Teorie komplexní pravděpodobnosti

Teorie pravděpodobnosti je
matematicky celkem jednoduchá a intuitivně pochopitelná, přináší však určité
otazníky v oblasti aplikací. Obvykle pojem pravděpodobnost vykládáme pomocí
geometrických nebo statistických příkladů, ovšem rádi bychom statistické úsudky
zformulovali do podoby pravděpodobnostních modelů a jimi předpovídali jevy budoucí. Z oblasti matematiky tak přeskakujeme do
hájemství fyziky a musíme se vyrovnat s otázkami rýpavých filosofů. Zejména
pak: Jaký význam má předpověď pravděpodobnosti unikátního jevu?

Pravděpodobnost je intuitivní
pojem podpořený matematickým aparátem a ve své predikční aplikaci je trochu
virtuální. Pomocí intuice bych chtěl
tento pojem rozšířit. Pravděpodobnost
chápeme jako míru na množině jevů, její hodnoty pak chceme reálné a ležící mezi
nulou (nemožný jev) a jedničkou (jev jistý). S podobným omezením si však ve
fyzice obvykle hlavu nelámeme. Dodefinujme si tedy k pravděpodobnosti imaginární složku. Její zavedení je v
souladu s intuicí. V mnoha situacích známe reálnou pravděpodobnost nějakého
jevu, ovšem vkládáme do něj naději,
tedy jakousi imaginární pravděpodobnost. Naději máme velkou u příznivých jevů a
u nepříznivých jevů vkládáme naději do jevů opačných.

Tvrdím, že takto zavedená
veličina má smysl. Hráč, řekněme kostek, je ochoten na výhru vsadit konkrétní
částku, v jeho mysli je tedy výhra o něco pravděpodobnější než by odpovídalo
strohému, reálnému odhadu. Stejně
tak je i pravděpodobnost výhry omezená, hráč se nedopustí nějakého excesu.

Samozřejmě zatím nevím, jak
přesně s imaginární složkou pravděpodobnosti zacházet. Myslím, že jako
pravděpodobnost vnímáme absolutní
hodnotu komplexního čísla, pro kterou by mělo stále platit, že je menší
nebo rovna jedné.

Václav Novák se už drží za hlavu,
to je jisté (ačkoliv je tento jev
pro mě imaginárním, určitě není
zcela nereálným).

Rozjitřím však vaši představivost přednesením další teze.
Pro pravděpodobnost nezávislých jevů
platí tento vztah:

P(A & B)  =  P(A) · P(B) 

Tedy, pravděpodobnost, že
nastanou dva jevy A a B, které jsou vzájemně nezávislé, zároveň, je dána
součinem jejich pravděpodobností. Uvažme tedy dva nezávislé jevy, jejichž
komplexní pravděpodobnost je mírně navýšena naší nadějí. Při platnosti výše
uvedené rovnice je reálná pravděpodobnost, že nastanou tyto jevy zároveň,
výsledkem součinu reálných pravděpodobností individuálních, ale je umenšena o součin imaginárních nadějí.
Čím větší naděje a očekávání vkládáme do individuálních jevů, tím menší je
pravděpodobnost, že nastanou příznivě současně. To je ovšem obecným závěrem
empirických Murphyho zákonů! Teorie komplexní pravděpodobnosti nám tedy dává návod jak tyto zákony korektně
dokázat.